Biskup Piotr Kleszcz urodził się 8 czerwca 1967 roku w Łodzi.
Uroczyste Śluby w Zakonie Braci Mniejszych Konwentualnych Prowincji Matki Bożej Niepokalanej złożył 4 października 1991 roku w Łodzi-Łagiewnikach.
Święcenia kapłańskie przyjął 29 maja 1993 roku w Łodzi-Łagiewnikach.
Tego samego roku uzyskał tytuł magistra teologii na Akademii Teologii Katolickiej w Warszawie (dziś: Uniwersytet Kardynała Stefana Wyszyńskiego).
W latach 1993-1995 był wikariuszem parafii św. Antoniego i św. Jana Chrzciciela w Łodzi-Łagiewnikach, a w latach 1995-1996 – w parafii Matki Bożej Anielskiej w Łodzi.
W latach 1996-1997 był wikariuszem parafii Matki Bożej Częstochowskiej w Bostonie (USA).
W roku 1997 wrócił do parafii Matki Bożej Anielskiej w Łodzi, sprawując w niej funkcję wikariusza i katechety. Od czerwca 2016 roku jest jej proboszczem i gwardianem wspólnoty zakonnej.
W 1997 roku założył zespół dziecięcy „Mały Chór Wielkich Serc”. Jest autorem słów i muzyki wykonywanej przez chór. Od 2020 roku zaangażował się w ewangelizację przez Internet, nagrywając codziennie komentarze do Liturgii Słowa.
Dnia 25 września 2024 roku mianowany biskupem tytularnym Acque Albe di Bizacena i biskupem pomocniczym archidiecezji łódzkiej.
Zna język angielski.